Podemos multiplicar una matriz \(A\) de tamaño \(m \times n\) por un vector \(v\) de tamaño \(n \times 1\) para obtener un nuevo vector \(w\) de tamaño \(m \times 1\). La multiplicación se define como
Para multiplicar dos matrices \(A\) y \(B\) debe coincidir el tamaño de las columnas de la primera matriz con el tamaño de las filas de la segunda matriz. Si \(A\) es de tamaño \(m \times n\) y \(B\) es de tamaño \(n \times p\), entonces el producto de las matrices \(A\) y \(B\) es una matriz \(C\) de tamaño \(m \times p\), para realizar este producto podemos escribir la segunda matriz como columnas y multiplicar cada columna por la matriz \(A\).
\[
C = AB = A [B_1, B_2, \ldots, B_p] = [AB_1, AB_2, \ldots, AB_p]
\]
donde \(B_1, B_2, \ldots, B_p\) son las columnas de la matriz \(B\).
Matriz identidad
La matriz identidad \(I\) es una matriz cuadrada de tamaño \(n \times n\) con unos en la diagonal principal y ceros en las demás entradas. La matriz identidad cumple la propiedad de que al multiplicar cualquier matriz \(A\) de tamaño \(n \times n\) por la matriz identidad se obtiene la misma matriz \(A\).
\[
AI = IA = A
\]
Matriz inversa
Dada una matriz cuadrada \(A\) de tamaño \(n \times n\), la matriz inversa \(A^{-1}\) es aquella que cumple la propiedad de que al multiplicarla por la matriz original se obtiene la matriz identidad.
\[
AA^{-1} = A^{-1}A = I
\]
Calculo de la matriz inversa
Dada una matriz cuadrada \(A\) de tamaño \(n \times n\), encontrar la matriz inversa de \(A\) es equivalente a resolver \(n\) sistemas de ecuaciones lineales. Asi, para calcular la matriz inversas se puede encontrar con el siguiente algoritmo:
Para esta deducción podemos considerar que \(A^{-1}=[x_1|x_2|\ldots|x_n]\) y que \(e_1,e_2,\ldots,e_n\) son las columnas de la matriz identidad de tamaño \(n \times n\). Entonces, la matriz inversa se puede encontrar a partir
Así el cálculo de la matriz inversa se puede realizar a partir de la resolución de \(n\) sistemas de ecuaciones lineales de la forma \[Ax_1=e_1\]\[Ax_2=e_2\]\[Ax_3=e_3\]\[\vdots\]\[Ax_n=e_n\]
Aunque este procedimiento es dispendioso, podemos utilizar la eliminación gaussiana para encontrar la matriz inversa de una matriz cuadrada. El algoritmo para encontrar la matriz inversa de una matriz cuadrada \(A\) de tamaño \(n \times n\) es el siguiente:
Se construye la matriz \([A|I]\) donde \(I\) es la matriz identidad de tamaño \(n \times n\).
Se aplica eliminación gaussiana para obtener la matriz \([I|A^{-1}]\).
La matriz \(A^{-1}\) es la matriz que se encuentra a la derecha de la barra vertical.
Note que esto es equivalente a resolver un \(n\) sistemas de ecuaciones lineales de la forma \(Ax = b\) donde \(b\) es una columna de la matriz identidad.
Ejemplo
Dada la matriz \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 &1 \\0& 1 & 4\\ 1&0&0 \end{bmatrix}\), encuentre la matriz inversa de \(A\).
Para encontrar la matriz inversa de \(A\) se puede resolver el sistema de ecuaciones lineales
Dada la matriz \(C = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{bmatrix}\), determine si la matriz \(C\) es una matriz escalonada o una matriz escalonada reducida.
Note que si una matriz cuadrada \(A\) y se puede escribir como una matriz escalonada con todos los elementos de la diagonal principal diferentes de cero, entonces la matriz \(A\) tiene inversa. ¿Por qué esta afirmación es cierta?
Matrices con python
import numpy as np# Supongamos que bw es tu matriz binaria (NumPy array o matrix)A = np.array([[3, 2, 3], [2, 3, 3], [3, 3, 4]])# 1️⃣ Dimensiones (filas, columnas)filas, columnas = A.shapeprint(f"Dimensiones: {filas} filas × {columnas} columnas")# 2️⃣ Total de elementos (filas×columnas)total = A.sizeprint(f"Total de elementos: {total}")# 3️⃣ Elementos de la diagonal principaldiagonal = np.diag(A)print(f"Elementos de la diagonal principal: {diagonal}")# 4️⃣ ver un elemento de la matrizprint(f"Elemento en la fila 1 y columna 1: {A[0, 0]}")print(f"Elemento en la fila 2 y columna 3: {A[1, 2]}")
Dimensiones: 3 filas × 3 columnas
Total de elementos: 9
Elementos de la diagonal principal: [3 3 4]
Elemento en la fila 1 y columna 1: 3
Elemento en la fila 2 y columna 3: 3
Solcuiones de sistemas de ecuaciones lineales con python
Quereos resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales