Taller de Álgebra Lineal: Subespacios, Combinaciones Lineales, Independencia y Bases

Ejercicios de Producto Cruz, Planos y Rectas

A continuación, se presentan 15 ejercicios repartidos en tres secciones: Producto Cruz, Planos y Rectas.

Calcular el producto cruz de los vectores:
\[ \mathbf{u} = (1, 2, 3) \quad \text{y} \quad \mathbf{v} = (4, 5, 6). \]
Determinar el producto cruz de los vectores:
\[ \mathbf{u} = (2, -3, 1) \quad \text{y} \quad \mathbf{v} = (0, 4, -5). \]
Encuentra el vector resultante del producto cruz de:
\[ \mathbf{u} = (-1, 2, 0) \quad \text{y} \quad \mathbf{v} = (3, -1, 4). \]
Calcular el producto cruz de:
\[ \mathbf{u} = (0, 3, -2) \quad \text{y} \quad \mathbf{v} = (5, 1, 0). \]
Verifica que el vector resultante sea perpendicular a ambos vectores dados.
Sean los vectores $ = (a_1, a_2, a_3)$ y $ = (b_1, b_2, b_3)$. Expresa el vector $ $ en forma de determinante y aplica este método para calcular el producto cruz de:
\[ \mathbf{a} = (3, 0, -1) \quad \text{y} \quad \mathbf{b} = (1, 4, 2). \]

Determinar la ecuación del plano que pasa por los puntos:
\[ A(1, 0, 2),\quad B(2, -1, 3) \quad \text{y} \quad C(0, 2, 1). \]
Utiliza el producto cruz para encontrar el vector normal.
Encuentra la ecuación del plano dado su vector normal $ = (2, -1, 3)$ y que pasa por el punto $P(1, 4, -2)$.
Hallar la ecuación general del plano que es paralelo al plano
\[ 2x - y + z = 5 \]
y pasa por el punto $P(3, 0, 1)$.
Determinar la ecuación paramétrica de un plano que contenga la recta:
\[ \begin{cases} x = 1 + t, \\ y = 2 - t, \\ z = 3 + 2t, \end{cases} \]
y sea perpendicular al vector $ = (0, 1, -1)$.
Dados los puntos:
\[ P(0,0,0), \quad Q(1,2,3) \quad \text{y} \quad R(4,0,1), \]
encuentra la ecuación del plano que pasa por ellos y discute la orientación del mismo.

Determinar la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto $P(2, -1, 3)$ con dirección $ = (1, 4, -2)$.
Encontrar la forma simétrica de la recta que tiene como ecuación paramétrica:
\[ \begin{cases} x = -1 + 3t, \\ y = 2 - t, \\ z = 4 + 2t. \end{cases} \]
Dadas las rectas:
\[ r_1: \begin{cases} x = 1 + t, \\ y = -2 + 2t, \\ z = 3 - t, \end{cases} \quad r_2: \begin{cases} x = 2 - s, \\ y = 0 + s, \\ z = 1 + 3s, \end{cases} \]
determinar si son coplanares y, en caso afirmativo, encontrar su punto de intersección (si existe).
Hallar la distancia entre el punto $P(1,2,3)$ y la recta de ecuación:
\[ \mathbf{r}(t) = (0, 1, -1) + t(2, 0, 4). \]
Encuentra la intersección (si existe) entre la recta:
\[ \mathbf{r}_1(t) = (1, 0, 2) + t(3, -1, 1) \]
y el plano definido por la ecuación:
\[ 4x - 2y + z = 7. \]

A continuación se presentan 5 enunciados. Indica si cada afirmación es verdadera o falsa y justifica la respuesta.

El producto cruz de dos vectores paralelos es un vector nulo.
La ecuación general de un plano siempre puede escribirse en la forma $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ es un vector normal al plano.
Dos rectas en el espacio siempre se cortan, ya que existen en tres dimensiones.
El producto cruz es conmutativo, es decir, $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{v} \times \mathbf{u}$.
Si una recta es paralela a un plano, entonces la dirección de la recta es ortogonal al vector normal del plano.

======= author: “Tu Nombre” date: “2025-04-11” format: html

Sea (W={(x,y,z)^3 : x-2y+z=0}). Determina si (W) es un subespacio vectorial de (^3) justificando cada propiedad.
Considera el conjunto (W={(x,y)^2 : 2x-3y=4}). ¿Es (W) un subespacio vectorial? Explica tu respuesta.
Dados (v_1=(1,3,2)) y (v_2=(2,-1,4)) en (^3), establece si el vector (w=(5,2,8)) se puede expresar como combinación lineal de (v_1) y (v_2); de ser así, encuentra los escalares correspondientes.
Determina si los vectores (v_1=(1,0,2)), (v_2=(0,1,-1)) y (v_3=(3,2,3)) en (^3) son linealmente independientes, mostrando los pasos del procedimiento.
Sea (W={(x,y,z)^3 : x+y+z=0}). Encuentra una base para (W) y determina su dimensión.
Considera los vectores (v_1=(1,0,0)), (v_2=(0,1,0)) y (v_3=(0,0,1)) en (^3). Demuestra que el subespacio generado por estos vectores es (^3).
Sea (W={(x,y,z)^3 : 2x-y+3z=0}). Verifica que (W) es un subespacio vectorial y determina su dimensión.
Dado el conjunto (S={(1,2),(3,6)}) en (^2), decide si los vectores son linealmente independientes y describe el subespacio generado por (S).
Considera (v_1=(1,2,1)) y (v_2=(0,1,1)) en (^3). Resuelve el sistema para encontrar los coeficientes que permitan expresar (w=(3,5,4)) como combinación lineal de (v_1) y (v_2).
Sea (W_1={v_1,v_2,v_3}) un conjunto de vectores linealmente independientes en (^4) y (W_2={v_1,v_2,v_3,v_4}) donde (v_4) es combinación lineal de (v_1,v_2,v_3). Compara los subespacios generados por (W_1) y (W_2) y justifica si son iguales o no.

VF1: Todo subespacio vectorial de (^n) debe contener el vector cero.
VF2: Si (W={(x,y,z)^3: x+y+z=2}), entonces (W) es un subespacio vectorial de (^3).
VF3: La combinación lineal de vectores puede producir el vector cero solo si todos los coeficientes son cero.
VF4: Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si al menos uno de ellos puede expresarse como combinación lineal de los otros.
VF5: El subespacio generado por un conjunto de vectores siempre es (^n) sin importar los vectores elegidos.
VF6: Si un conjunto de vectores en (^n) tiene más de (n) vectores, necesariamente son linealmente dependientes.
VF7: La dimensión de un subespacio es el número de vectores en cualquier conjunto que lo genere.
VF8: Si dos conjuntos de vectores generan el mismo subespacio, sus bases tienen el mismo número de elementos.
VF9: Toda combinación lineal de vectores es única.
VF10: La eliminación de Gauss es una técnica que puede usarse para resolver sistemas de ecuaciones lineales y determinar la independencia lineal. >>>>>>> 1ab0de8 (algunos cambios del atller 9)