Normas

Norma de vectores

• Norma de un vector \(l_p\) Sea \(x=[x_1,x_2,\dots,x_n]^T\) un vector en \(\mathbb{R}^n\), la norma \(l_p\) de \(x\) se define como: \[\|x\|_p=\left(\sum_{i=1}^n|x_i|^p\right)^{1/p}\] para \(1\leq p<\infty\) y \[\|x\|_\infty=\max_{1\leq i\leq n}|x_i|\]

Propiedades de las normas \(l_p\)

• No negatividad

\[\|x\|_p\geq 0\text{ si }x\neq 0\]

y \(\|x\|_p=0\) si y solo si \(x=0\).

• Para todo vector \(\mathbf{v}\) y escalar \(\alpha\), la norma \(L_p\) cumple con la propiedad de homogeneidad positiva: \[\| \alpha \mathbf{v} \|_p = |\alpha| \| \mathbf{v} \|_p\]

• Desigualdad Triangular La norma \(L_p\) satisface la desigualdad triangular, que establece que para dos vectores \(\mathbf{v}\) y \(\mathbf{w}\), se cumple:

\[\| \mathbf{v} + \mathbf{w} \|_p \leq \| \mathbf{v} \|_p + \| \mathbf{w} \|_p\]

¿Cómo seria una circunferencia en la norma l_p?

Norma Euclidiana (Norma 2)

Si \(p=2\), la norma \(L_2\) se conoce como la norma Euclidiana o norma 2. La norma Euclidiana de un vector \(x\) se define como: \[\|x\|_2=\sqrt{\sum_{i=1}^n|x_i|^2}\] Ahora si \(x\) es un vector columna, la norma Euclidiana se puede escribir como: \[\|x\|_2=\sqrt{x^Tx}\]

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Valores de p para los que se dibujarán las circunferencias
valores_de_p = [1,2,4,20]
colores = ['red', 'blue', 'green', 'orange']

# Definición de los puntos en el círculo unitario
theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 1000)
x =  np.linspace(-1, 1, 1000)


# Configuración del gráfico
plt.figure(figsize=(10, 8))
plt.title("Circunferencias en Normas $L_p$")

# Dibuja las circunferencias para diferentes valores de p
for j in range(len(valores_de_p)):
    p=valores_de_p[j]
    y = (1-np.abs(x) ** p ) ** (1 / p)
    plt.plot(x, y, label=f"$L_{p}$ Norma, p={p}",color=colores[j])
    plt.plot(x, -y, color=colores[j])

# Añade etiquetas y leyenda
plt.xlabel("Eje X")
plt.ylabel("Eje Y")
plt.legend()
plt.grid(True)

# Muestra el gráfico
plt.axis("equal")
plt.show()

x=np.array([1,2,3])
y=np.array([4,5,6])
z=x-y
print(z)
print(np.linalg.norm(z,1))
print(np.linalg.norm(z,2))
print(np.linalg.norm(z,np.inf))

[-3 -3 -3]
9.0
5.196152422706632
3.0

Normas matriciales

Las normas matriciales inducidas son una forma de medir la magnitud de una matriz en relación con un espacio vectorial. Son útiles en diversas áreas de las matemáticas y la ciencia, incluyendo el álgebra lineal y la teoría de matrices. En este documento, exploraremos las normas matriciales inducidas y cómo se calculan.

Norma Matricial Inducida por un Vector ** Propiedades

• Si \(A\) y \(B\) son matrices

\[|\|AB\||_p\leq|\|A|\|_p\||B\||_p\]

La norma matricial inducida por una norma vectorial se define como: \[|\|A\||_{p} = \max_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|_{p}}{\|x\|_{q}}\] donde \(\|\cdot\|_{p}\) y \(\|\cdot\|_{q}\) son normas vectoriales en \(\mathbb{R}^{n}\) y \(\mathbb{R}^{m}\), respectivamente. Esta definiciión se puede reescribir como:

\[|\|A\||_{p} = \max_{\|x\|_{q} = 1} \|Ax\|_{p}\]

Si \(A\) es una matriz cuadrada, entonces la norma matricial de la norma \(1\) se puede escribir como: \[|\|A\||_{1}=max_{1\leq k\leq n}\sum_{j=1}^{n}|A_{j,k}|\]

\[|\|A\||_{\infty}=max_{1\leq j\leq n}\sum_{k=1}^{n}|A_{j,k}|\]

Ejemplos

Veamos algunos ejemplos de cálculo de normas matriciales inducidas en matrices y vectores específicos.

Ejemplo 1 Dada la matriz \[A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 4 \end{bmatrix}\] y la norma vectorial \(L_{1}\), calculemos la norma matricial inducida por \(L_{1}\).

\[|\|A\||_{1} = \max\{7,5\}=7\]

Norma infinito

\[|\|A\||_{\infty} = \max\{3,9\}=9\]

Normas de Frobenius

La norma de Frobenius es una norma matricial no inducida. La norma de Frobenius de una matriz \(A\) se define como:

\[|\|A\||_{F} = \sqrt{\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} |a_{ij}|^{2}}\]

import numpy as np

# Crear una matriz de ejemplo
A = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6],
              [7, 8, 9]])

# Calcular la norma de Frobenius (norma F)
norm_frobenius = np.linalg.norm(A, ord='fro')
print("Norma de Frobenius de A:", norm_frobenius)

# Calcular la norma infinito (norma ∞)
norm_inf = np.linalg.norm(A, ord=np.inf)
print("Norma infinito de A:", norm_inf)

# Calcular la norma 1 (norma 1)
norm_1 = np.linalg.norm(A, ord=1)
print("Norma 1 de A:", norm_1)

Norma de Frobenius de A: 16.881943016134134
Norma infinito de A: 24.0
Norma 1 de A: 18.0

Número de Condición

El número de condición de una matriz es una medida de la sensibilidad de la solución de un sistema de ecuaciones lineales \(Ax = b\) a pequeños cambios en la matriz \(A\). Esta definición es válida tanto para matrices cuadradas como rectangulares. El número de condición se denota \(cond(A)\), donde \(A\) es una matriz cuadrada o rectangular.

El número de condición de una matriz \(A\) se define como:

\[cond(A) = |\|A\|| \cdot |\|A^{-1}\||\]

Una matriz se dice bien condicionada si su número de condición es cercano a 1.

Sea la matriz \(A=\begin{bmatrix} 1+10^{-4} & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\), ¿Cúal es numero de condición de \(A\)?

Supongamos que queremos resolver este sistema de ecuaciones

\[\begin{bmatrix} 1+10^{-4} & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}\]

¿qué características podemos ver? ¿que tan sensibles es el sistema a pequeños cambios en la matriz \(A\)?

En un sistema de ecuaciones se refiere a cómo pequeñas variaciones en los coeficientes o términos del sistema afectan las soluciones o solución del sistema. En otras palabras, la sensibilidad se refiere a cuánto cambian las soluciones cuando los datos o las condiciones del problema cambian ligeramente.

import numpy as np

# Crear una matriz de ejemplo
A = np.array([[1+1e-4, 1], [1, 1]])

# Calcular el número de condición utilizando la norma 2
condicion_numero = np.linalg.norm(A, ord=2) * np.linalg.norm(np.linalg.inv(A), ord=2)

print("Número de Condición de A:", condicion_numero)
A

Número de Condición de A: 40002.000074994605

array([[1.0001, 1.    ],
       [1.    , 1.    ]])