Taller Resumen

Ejercicio de Métodos numéricos para ingenieros-Chapra, 7ed La función \(\sin x\), puede evaluarse mediante la serie infinita \[\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}\]

escriba un algoritmo para implementar esta formula de modo que calcule e imprima los valores de \(\sin x\) con forme se agregue cada termino de la serie. En otras palabras, calcule e imprima la secuencia de valores para \[\sin x=x\] \[\sin x=x-\frac{x^3}{3!}\] \[\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\] hasta el término de orden \(n\) que usted elija. Para cada uno de los valores anteriores, calcule y haga que se muestre el error porcentual relativo:

\[\% error=\frac{v_v-a_s}{v_v}\times100\%\]

Escriba el algoritmo para

diagrama de flujo estructurado,
pseudocódigo.

Defina que es error relativo, error absoluto, error de truncamiento, error de redondeo.
Elabore un pseudocódigo usando el método de la bisección usando los criterios siguientes criterios de parada

Error absoluto, \(|x_{n-1}-x_n|\).
Error relativo, \(\frac{|x_{n-1}-x_n|}{|x_n|}\), si \(x_n\neq0\)
“criterio de función” \(|f(x_{n-1})-f({x_n})|\)

¿Qué mide el criterio de función?
Programe el pseudocódigo anterior en Python y aplique el método de la bisección para encontrar la raíz de la función \(f(x)=x^3-2x^2+4x-8\) en el intervalo \([1,3]\) con una tolerancia de \(10^{-4}\), calculando el error absoluto, relativo y el criterio de función.
El siguiente código está programado en python y usa el método de newton

def newton(f,df,x0,tol=1e-5,maxiter=15):
    x = x0
    for i in range(maxiter):
        dx = -f(x)/df(x)
        x = x + dx
        if abs(dx/x) < tol: return x,i
    print('Son demasiadas iteraciones\n')

Este algoritmo usa adecuadamente todos los criterios para programar el método de newton
Si es necesario modifique el algoritmo para que el programa genera una buena aproximación del método de newton

Haga un comparación del método de Newton, método de la bisección y el método del punto fijo.
Use los métodos anteriores para encontrar la raíz de la función \(f(x)=x^3-2x^2+4x-8\) en el intervalo \([1,3]\) con una tolerancia de \(10^{-4}\), calculando el error absoluto, relativo y imprimiendo el numero de iteraciones.
Se quiere resolver el siguiente problema

Un filtro de paso de banda paso señales con una frecuencia que son dentro de cierto rango. En este filtro el radio de la magnitud del voltaje es dado por \[ RV=\left|\frac{V_0}{V_i}\right|=\frac{\omega RC}{\sqrt{(1-\omega^ 2LC)^ 2+(\omega RC)^ 2}}, \] donde \(\omega\) es la frecuencia de la señal de entrada. Dado \(R=1000 \Omega\) \(L=11mH\) y \(C=8\mu F\) se requiere determinar el rango de frecuencia que corresponde para \(RV\geq 0.87\)

Escriba un pseudocódigo para resolver el problema anterior
Si es necesario usar un método para encontrar las raíces de la función \(RV\). ¿Qué método usaría? ¿Por qué? ¿Qué criterio de parada usaría? ¿Por qué? ¡Justifique su respuesta!

Tome \(f(x)=x^2-6\) y \(p_0=1\). Use el método de Newton para encontrar \(p_3\) (tres iteraciones del método)
Tome \(f(x)=-x^3-cos(x)\) y \(p_0=1\). Use el método de Newton para encontrar \(p_3\). Puede \(p_0=0\) ser usado?
El polinomio de grado 4 \(f(x)=230x^4+18x^3+9x^2-221x-9\) tiene 2 raíces reales en los intervalos \([-1,0]\) y \([0,1]\). Intente aproximar esos ceros con una precisión de \(10^{-6}\) usando:

método de Newton,
Método de la bisección
Punto fijo
¿Qué método escogería para resolver este problema? ¿Por qué?
¿Qué criterio de parada usaría? ¿Por qué?

En la ingeniería ambiental, la ecuación siguiente se emplea para calcular el nivel de oxígeno \(c\) (mg/L) en un río aguas abajo de la descarga de un drenaje: \[c=10-20(e^{-0.15x}-e^-0.5x)\] donde \(x\) es la distancia aguas abajo en km.

Escriba un pseudocódigo para resolver el problema anterior
Determine la distancia aguas abajo de la corriente, a la cual el nivel de oxigeno cae hasta una lectura de 5mg/L. Encuentre la respuesta con una presión de \(10^{-3}\).
Calcule la distancia aguas abajo a la cual el oxígeno se encuentra al mínimo.

El desplazamiento de una estructura esta definido por la siguiente ecuación para una oscilación amortiguada: \[y=9e^{-kt}cos (\omega t)\]

Donde \(k=0.695\) y \(\omega =3.92\) +

Utilice el método gráfico para realizar una estimación inicial del tiempo que se requiere para que el desplazamiento disminuya a 3.5

Emplee el método de Newton para determinar la raíz con una exactitud de \(10^{-5}\)

Realice la gráfica de un ejemplo de una función que tenga raíz en un intervalo cerrado y donde no se pude usar el método de Newton.
Realice la gráfica de un ejemplo de una función que tenga raíz en un intervalo cerrado y en donde no se pude usar el método de Bisección.
¿Qué consideraciones debo tener para usar el método de Newton? Explique y de ejemplos
¿Qué consideraciones debo tener para usar el método de Bisección? Explique y de ejemplos
Deduzca el algoritmo de Newton para encontrar la raíz de una función \(f(x)\)
Deduzca el algoritmo de Bisección para encontrar la raíz de una función \(f(x)\)
¿Qué consideraciones debo tener para usar el método de Punto fijo? Explique y de ejemplos
Cuales son las propiedades de las normas de vectores y de matrices
Para que puedo usar las normas de vectores y de matrices
Le realice la siguiente pregunta a Chatgpt ¿Qué es mejor en problemas de análisis numérico trabajar con números grandes que con números pequeños?

```En problemas de análisis numérico, la elección entre trabajar con números grandes o pequeños depende de la naturaleza específica del problema y de las limitaciones numéricas de los algoritmos involucrados. En algunos casos, puede ser necesario trabajar con números grandes, mientras que en otros, números pequeños son más apropiados. Aquí hay algunas consideraciones:

Trabajar con números grandes puede ser mejor cuando:

Precisión requerida: Si el problema requiere una alta precisión en los resultados y los números involucrados son naturalmente grandes, como en cálculos astronómicos o financieros a gran escala, es necesario trabajar con números grandes para evitar pérdidas significativas de precisión.
Reducción de errores de redondeo: En algunos algoritmos numéricos, especialmente aquellos que involucran sumas o productos acumulativos, trabajar con números grandes puede ayudar a reducir los errores de redondeo acumulativos que pueden afectar la precisión de los resultados.
Mantener magnitudes significativas: En problemas donde las magnitudes de los números son esenciales para el análisis, trabajar con números grandes puede ser necesario para representar adecuadamente la información del problema.

Trabajar con números pequeños puede ser mejor cuando:

Eficiencia computacional: En ciertas situaciones, como simulaciones numéricas de alto rendimiento, trabajar con números pequeños puede ser más eficiente en términos de velocidad de cálculo y uso de memoria.
Evitar desbordamientos y errores: En algoritmos donde los números crecen exponencialmente o tienen potencial para desbordarse, trabajar con números pequeños puede ser una estrategia para evitar problemas numéricos.
Estabilidad numérica: Algunos algoritmos numéricos son más estables cuando se utilizan números pequeños, ya que los errores de redondeo tienden a ser menos problemáticos.
Optimización de recursos: En entornos computacionales con recursos limitados, como sistemas embebidos o dispositivos móviles, trabajar con números pequeños puede ser necesario debido a restricciones de memoria y potencia de cálculo.

En última instancia, la elección entre números grandes y pequeños en problemas de análisis numérico debe basarse en un análisis detallado de las características del problema y las limitaciones de los algoritmos disponibles. A menudo, es útil realizar pruebas y experimentos para determinar cuál enfoque es más adecuado para un problema en particular, equilibrando la precisión, la eficiencia y la estabilidad numérica.

+ ¿Qué puedo decir de la respuesta anterior?
+ ¿Todas las afirmaciones son correctas? 

26. Le realice la siguiente pregunta a Chatgpt
**quiero que código en python  para graficar una circunferencia usando norma lp**

Para graficar una circunferencia en Python utilizando la norma \(L_p\), puedes utilizar la biblioteca `matplotlib` para trazar la gráfica y la biblioteca `numpy` para realizar cálculos. La norma \(L_p\) se utiliza para definir una circunferencia en función de una distancia dada. Aquí tienes un ejemplo de código que grafica una circunferencia usando la norma \(L_p\):

```python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Definir el radio de la circunferencia y el valor de p
radio = 1.0  # Puedes ajustar el radio según tus necesidades
p = 2        # Puedes ajustar el valor de p (2 para la norma L2, 1 para la norma L1, etc.)

# Generar puntos en la circunferencia
theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 1000)  # Ángulos desde 0 hasta 2*pi
x = radio * np.cos(theta)
y = radio * np.sin(theta)

# Elevar las coordenadas a la potencia p
x_p = np.power(np.abs(x), p) * np.sign(x)
y_p = np.power(np.abs(y), p) * np.sign(y)

# Crear la figura y el gráfico
plt.figure(figsize=(6, 6))
plt.plot(x_p, y_p, label=f'Norma L{p}')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.title(f'Circunferencia con Norma L{p}')
plt.grid(True)
plt.axis('equal')  # Para asegurar que la escala en X e Y sea igual
plt.legend()
plt.show()

Este código generará una gráfica de una circunferencia utilizando la norma (L_p) con el radio especificado y el valor de (p) dado. Puedes ajustar radio y p según tus necesidades. La función np.power se utiliza para elevar las coordenadas a la potencia (p) según la norma (L_p). El resultado es una circunferencia con la norma (L_p) especificada.

¿El código anterior es correcto?
¿Es posible modificar el código anterior para graficar una circunferencia usando la norma \(L_p\)? ¿Cómo? ¡Justifique su respuesta!
Escriba un código en python para graficar una circunferencia usando la norma \(L_p\)

Defina el numero de condición de una matriz y para que sirve. ¿Qué es una matriz mal condicionada? ¿Que relación tiene el numero de condición con el error de redondeo?
Implemente este código en python

eps = 1.0
while 1.0 + eps != 1.0:
    eps /= 2.0
print(eps)

¿Que arroja el código anterior? ¿Qué significa?

Implemente este código en python


def puntofijo(g, x0, tol, n):
    for k in range(n):
        x1 = g(x0)
        if abs(x1 - x0) < tol:
            return x1, k
        x0 = x1
    print('Son demasiadas iteraciones\n')
g = lambda x: 1 + 1/x
x0 = 1
tol = 1e-5
n = 100

¿Qué debería hacer este código?¿Este código es correcto? ¿Por qué? ¿Qué se puede hacer para mejorarlo?

Implemente este código en python


def biseccion(f, a, b, tol, n):
    for k in range(n):
        p = a + (b - a)/2
        if abs(f(p)) < tol:
            return p, k
        elif f(a)*f(p) < 0:
            b = p
        else:
            a = p
    print('Son demasiadas iteraciones\n')
f = lambda x: x**2 - 2
a = 0
b = 1
tol = 1e-5
n = 100

¿Qué debería hacer este código? ¿Este código es correcto? ¿Por qué? ¿Qué se puede hacer para mejorarlo?