| \(x_i\) | 0.10000 | 0.30000& | 0.50000 |
|---|---|---|---|
| \(y_i\) | -1.377000 | 0.061000 | 1.875000 |
| \(x_i\) | 0.10000 | 0.30000 | 0.50000 | 0.70000 |
|---|---|---|---|---|
| \(y_i\) | -1.380000 | -0.020000 | 1.500000 | 3.180000 |
| \(x_i\) | 0.01 | -0.01 | 0.1 | -0.1 | 1 | -1 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y_i\) | -0.50637 | 0.50637 | -0.54402 | 0.54402 | 0.84147 | -0.84147 |
Sea \(f(x)=\sin(x)\), si queremos interpolar esta función en el intervalo \([0,\pi]\) para los puntos \(x_i=0, \frac{1}{4}\pi, \frac{1}{2}\pi,\frac{3}{4}\pi\) y \(\pi\). Encuentre el error del polinomio en ese intervalo. ¿Considera que ese polinomio es una buena aproximación de la función \(f(x)\)?. Justifique su respuesta.
Describa que el fenómeno Runge. De un ejemplo del método Runge.
Consulte el siguiente comando la librería. Úselo para interpolar el punto 4 y compare sus respuestas. ¿Cómo obtendría el valor de \(f(0.2)\)?
Observe los siguientes puntos
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.style.use('seaborn-poster')
# generate x and y
x = np.linspace(0, 1, 101)
y = 1 + x + x * np.random.random(len(x))
# plot the results
plt.figure(figsize = (10,8))
plt.plot(x, y, 'b.')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()
Note que es tienen un comportamiento lineal, Encuentre una recta que minimice el error cuadrático de los puntos dados. Para ello el método de cuadrados mínimos. Encuentre la magnitud del error.
\[||y-\hat{y}||_2\] donde \(y\) es el vector de los puntos dados y \(\hat{y}\) es el vector de los puntos estimados.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.style.use('seaborn-poster')
# let's generate x and y, and add some noise into y
x = np.linspace(0, 10, 101)
y = 0.1*np.exp(0.3*x) + 0.1*np.random.random(len(x))
# Let's have a look of the data
plt.figure(figsize = (10,8))
plt.plot(x, y, 'b.')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()
Note que tiene un comportamiento de la forma
\[y=ae^{bx}\]
este sistema lo podemos linealizar tomando logaritmos
\[\ln(y)=\ln(a)+bx\]
Encuentre una recta que minimice el error cuadrático de los puntos dados. Para ello el método de cuadrados mínimos y grafique su respuesta en el mismo gráfico de los puntos dados. Encuentre la magnitud del error.
\[||y-\hat{y}||_2\] donde \(y\) es el vector de los puntos dados y \(\hat{y}\) es el vector de los puntos estimados.
Vamos a usar los datos de pingüinos, los cuales se encuentran pre-cargados en la librería searbosn y que nos permiten analizar la relación entre la longitud del pico y la masa corporal de los pingüinos. En la librearía seaborn podemos encontrar información de tres tipos de especies y en donde podemos analizar las siguientes variables: * bill_length_mm: longitud del pico en milímetros * bill_depth_mm: profunidad del pico en milímetros * flipper_length_mm: longitud de las alas en milímetros * body_mass_g: masa corporal en gramos * species: especie de pingüino
import numpy as np
from scipy.stats import norm
import pandas as pd
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
plt.rcParams['figure.figsize'] = (20, 10)
plt.style.use('ggplot')
import warnings
warnings.filterwarnings('ignore')df = sns.load_dataset("penguins")
type(df) # note que df es un objeto de tipo DataFrame de pandas
# para visualizar el encabezado del DataFrame
df.head()| species | island | bill_length_mm | bill_depth_mm | flipper_length_mm | body_mass_g | sex | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | Adelie | Torgersen | 39.1 | 18.7 | 181.0 | 3750.0 | Male |
| 1 | Adelie | Torgersen | 39.5 | 17.4 | 186.0 | 3800.0 | Female |
| 2 | Adelie | Torgersen | 40.3 | 18.0 | 195.0 | 3250.0 | Female |
| 3 | Adelie | Torgersen | NaN | NaN | NaN | NaN | NaN |
| 4 | Adelie | Torgersen | 36.7 | 19.3 | 193.0 | 3450.0 | Female |
# para visualizar el tamaño del DataFrame
print('Total de elementos ',df.size)
# para visualizar el número de filas y columnas del DataFrame
print('Número de filas y columnas',df.shape)Total de elementos 2408
Número de filas y columnas (344, 7)df.describe()
# aqui primero debemos mirar si hay datos faltantes
print(df.isnull()) # esto nos devuelve un DataFrame de booleanos
# aqui imprime si el dato es faltante o no
print(df.isnull().sum()) # esto nos devuelve la suma de los valores faltantes por columna species island bill_length_mm bill_depth_mm flipper_length_mm \
0 False False False False False
1 False False False False False
2 False False False False False
3 False False True True True
4 False False False False False
.. ... ... ... ... ...
339 False False True True True
340 False False False False False
341 False False False False False
342 False False False False False
343 False False False False False
body_mass_g sex
0 False False
1 False False
2 False False
3 True True
4 False False
.. ... ...
339 True True
340 False False
341 False False
342 False False
343 False False
[344 rows x 7 columns]
species 0
island 0
bill_length_mm 2
bill_depth_mm 2
flipper_length_mm 2
body_mass_g 2
sex 11
dtype: int64# para manipular la base de datos debemos hacer una copia
df1 = df.copy()#vamos a buscar los datos faltantes en la columna "body_mass_g"
print(df1['body_mass_g'].isnull().sum()) # esto nos devuelve la suma de los valores faltantes por columna2#vamos a ver la fila de los datos faltantes en la columna "body_mass_g"
print(df1[df1['body_mass_g'].isnull()]) species island bill_length_mm bill_depth_mm flipper_length_mm \
3 Adelie Torgersen NaN NaN NaN
339 Gentoo Biscoe NaN NaN NaN
body_mass_g sex
3 NaN NaN
339 NaN NaN Necesitamos buscar alguna estrategia para estudiar los datos, por ejemplo, podemos rellenarlos con el promedio, o podemos omitir esos datos, o podemos usar la regresión lineal para estimar los valores faltantes (Note que para buscar una estrategia siempre es dependiente al problema). Para este caso vamos a omitir los datos faltantes.
# eliminar la fila con los datos faltantes
df1.dropna(subset=['body_mass_g'], inplace=True)
print(df1.isnull().sum()) # esto nos devuelve la suma de los valores faltantes por columna
print(df1.shape) # para visualizar el número de filas y columnas del DataFramespecies 0
island 0
bill_length_mm 0
bill_depth_mm 0
flipper_length_mm 0
body_mass_g 0
sex 9
dtype: int64
(342, 7)Vamos a estudiar la relación entre la longitud del pico y la masa corporal de los pingüinos. Para ello vamos a ver si existe una relación lineal entre estas dos variables. Una forma básica de estudiar dicha relación es hacer un primer gráfico de dispersión de los datos.
by=df1["body_mass_g"] # extraemos la columna body_mass_g
bl=df1["bill_length_mm"] # extraemos la columna bill_length_mm
plt.scatter(by, bl)
plt.xlabel("body mass grams")
plt.ylabel("bill length mm")
plt.title("Relationship between body mass and bill length")
plt.show()
Encuentre una recta que minimice el error cuadrático de los puntos dados. Para ello el método de cuadrados mínimos y grafique su respuesta en el mismo gráfico de los puntos dados. Encuentre la magnitud del error.
\[||y-\hat{y}||_2\] donde \(y\) es el vector de los puntos dados y \(\hat{y}\) es el vector de los puntos estimados.