Determinantes

Determinante de una matriz

El determinante de una matriz cuadrada \(A\) de tamaño \(n \times n\) se denota como \(|A|\) y se define como

  1. Si \(n=1\), entonces \(|A| = a_{11}\).

  2. Si \(n=2\), entonces \(|A| = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}\).

  3. Si \(n>2\), entonces el determinante de una matriz \(A\) se puede calcular mediante la regla de Sarrus o mediante la regla de Laplace.

Regla de Sarrus

Para calcular el determinante de una matriz \(A\) de tamaño \(3 \times 3\) se puede utilizar la regla de Sarrus. Dada una matriz \(A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}\), el determinante de \(A\) se puede calcular como

\[ |A| = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} \]

Regla de Laplace

Para calcular el determinante de una matriz \(A\) de tamaño \(n \times n\) se puede utilizar la regla de Laplace. Dada una matriz \(A\) de tamaño \(n \times n\), el determinante de \(A\) se puede calcular como

\[ |A| = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} |A_{ij}| \]

donde \(|A_{ij}|\) es el determinante de la matriz que se obtiene al eliminar la fila \(i\) y la columna \(j\) de la matriz \(A\).

Ejemplo

Dada la matriz \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{bmatrix}\), encuentre el determinante de \(A\).

Para encontrar el determinante de \(A\) se puede utilizar la regla de Sarrus o la regla de Laplace. Si utilizamos la regla de Sarrus obtenemos

\[ |A| = 1 \cdot 1 \cdot 0 + 2 \cdot 4 \cdot 5 + 3 \cdot 1 \cdot 6 - 3 \cdot 1 \cdot 5 - 2 \cdot 1 \cdot 0 - 1 \cdot 4 \cdot 6 = 1 \cdot 20 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 - 3 \cdot 5 - 2 \cdot 0 - 1 \cdot 24 = 20 + 10 + 18 - 15 - 0 - 24 = 29 \]

Por lo tanto, el determinante de \(A\) es \(|A| = 29\).

Ahora mediante la regla de Laplace

\[ |A| = 1 \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} = 1(1 \cdot 0 - 4 \cdot 6) - 2(0 \cdot 0 - 4 \cdot 5) + 3(0 \cdot 6 - 1 \cdot 5) = 1(-24) - 2(-20) + 3(-5) = -24 + 40 - 15 = 29 \]

Propiedades de los determinantes

  1. Si \(A\) es una matriz cuadrada de tamaño \(n \times n\), entonces \(|A^T| = |A|\).

  2. Si \(A\) es una matriz cuadrada de tamaño \(n \times n\), entonces \(|kA| = k^n |A|\).

  3. Si \(A\) y \(B\) son matrices cuadradas de tamaño \(n \times n\), entonces \(|AB| = |A| |B|\).

  4. Si \(A\) es una matriz cuadrada de tamaño \(n \times n\), entonces \(|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}\).

  5. Si una matriz \(A\) tiene una fila o columna de ceros, entonces \(|A| = 0\).

  6. Si \(A\) es una matriz cuadrada de tamaño \(n \times n\) y \(B\) es una matriz que se obtiene al intercambiar dos filas o dos columnas de \(A\), entonces \(|B| = -|A|\).

  7. Si \(A\) es una matriz cuadrada y tiene dos filas o columnas iguales, entonces \(|A| = 0\).

  8. Si \(A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} +c& a_{22} +d\end{bmatrix}\) entonces \[ |A| = \Bigg|\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix}\Bigg|+ \Bigg|\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\a&d \end{bmatrix}\Bigg| \]

Ejemplo

Dada la matriz \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{bmatrix}\), encuentre el determinante de \(A\).

Note Si el determinante de una matriz es cero, entonces la matriz no es invertible.