Ejercicios de Autovalores y Autovectores (Matrices 2x2)

Introducción

Ejercicios

Dada la matriz, encontrar los valores propios y vectores propios. 1. \(A = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}\)

  1. \(B = \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}\)

  2. \(E = \begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}\)

  3. \(G = \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}\)

  4. Determina para que valor \(\alpha\) la matriz \(H = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & \alpha \end{bmatrix}\) tiene un solo valor propio.

  5. Un modelo lineal de evolución poblacional para dos especies está dado por la matriz:

\[ \begin{bmatrix}y_{n+1}\\ x_{n+1}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0.8 & 0.3 \\ 0.2 & 0.7 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_{n}\\ x_{n}\end{bmatrix} \]

El sistema anterior, la matriz de transición describe cómo las poblaciones de dos especies (denotadas como \(y\) y \(x\)) evolucionan de un tiempo \(n\) al siguiente tiempo \(n+1\). Los elementos de la matriz representan las tasas de crecimiento y las interacciones entre las dos especies. Si la población inicial es \(y_0= 0.2\) y \(x_0=0.8\), (Usa un computador para realizar rápidamente los cálculos)

  1. ¿cuál será la población en tiempo n=10. Halla los valores propios y vectores propios para analizar el comportamiento del sistema.

  2. Como podemos interpretar los valores propios en este contexto.

  1. En el siguiente plano se dibuja una casa.

Los puntos se encuentran en las coordenadas:

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Punto} & A & B & C & D & E & A \\ \hline x & 0 & 4 & 4 & 2 & 0 & 0 \\ \hline y & 0 & 0 & 3 & 5 & 3 & 0 \\ \hline \end{array}\]

Multiplica a cada uno de los puntos por la matriz

\[A= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\]

y dibuja la nueva casa.

  1. Como podemos interpretar la transformación de la casa en este contexto.

  2. Encuentra los valores propios y vectores propios de la matriz de rotación y analiza su comportamiento.

  3. ¿Qué pasa si la matriz de rotación es \(A= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}\)? ¿Qué sucede con la casa? ¿Cuales son los valores propios y vectores propios de la matriz? ¿Qué interpretación podemos dar a los valores propios en este contexto?

  4. Crea la matriz en python de la forma

import numpy as np H = np.array([[0, 4, 4, 2, 0, 0], [0, 0, 3, 5, 3, 0]])

A= np.array([[2, 1], [1, 2]])

para aplicar la transformación

H_transformed = A @ H

Para dibujar la nueva casa.

import matplotlib.pyplot as plt

plt.plot(H[0], H[1], ‘bo-’, label=“Casa Original”) # Dibujo original

plt.plot(H_transformed[0], H_transformed[1], ‘ro-’, label=“Casa Transformada”) # Transformada