Vectores de \(R^n\)

Un vector \(v\) de tamaño \(n \times 1\) se puede escribir como:

\[ v = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} \]

donde \(v_i\) es el \(i\)-ésimo elemento del vector \(v\). Un vector se puede representar como una matriz de una sola columna. Por ejemplo, el vector \(v = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\) se puede representar como la matriz \(A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}\).

En python se puede escribir un vector como una lista o como un array de numpy. Por ejemplo, el vector \(v = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\) se puede escribir como:

import numpy as np
v = np.array([[1], [2], [3]])
print(v)
[[1]
 [2]
 [3]]

otra forma de escribirlo es como un array de numpy de una sola fila y tres columnas:

import numpy as np
v = np.array([1, 2, 3])
v=v.reshape(3, 1)
print(v)
[[1]
 [2]
 [3]]

Operaciones con vectores

  1. Suma de vectores:

Sea \(v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\) y \(v_2 = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix}\), entonces la suma de los vectores \(v_1\) y \(v_2\) se define como:

\[ v_1 + v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 + 4 \\ 2 + 5 \\ 3 + 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \\ 9 \end{bmatrix} \]

  1. Multiplicación de un vector por un escalar:

Sea \(v = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\) y \(k = 2\), entonces la multiplicación del vector \(v\) por el escalar \(k\) se define como:

\[ kv = 2 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{bmatrix} \]

Propiedades de la suma y multiplicación de vectores

  1. La suma de vectores es conmutativa: \[ v_1 + v_2 = v_2 + v_1 \]
  2. La suma de vectores es asociativa: \[ (v_1 + v_2) + v_3 = v_1 + (v_2 + v_3) \]
  3. La multiplicación de un vector por un escalar es distributiva: \[ k(v_1 + v_2) = kv_1 + kv_2 \]
  4. La multiplicación de un vector por un escalar es asociativa:

\[ k(v_1 + v_2) = kv_1 + kv_2 \] 5. La multiplicación de un vector por un escalar es conmutativa: \[ kv_1 = v_1k \]

  1. Producto punto de dos vectores:

Sea \(v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\) y \(v_2 = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix}\), entonces el producto punto de los vectores \(v_1\) y \(v_2\) se define como:

\[ v_1 \cdot v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 = 4 + 10 + 18 = 32 \]

Estas operaciones las podemos realizar en python de la siguiente manera:

import numpy as np
v1 = np.array([[1], [2], [3]])
v2 = np.array([[4], [5], [6]])
suma = v1 + v2
multiplicacion = 2 * v1
producto_punto = np.dot(v1.T, v2)
print("Suma de vectores:", suma)
print("Multiplicación de un vector por un escalar:", multiplicacion)
print("Producto punto de dos vectores:", producto_punto)
Suma de vectores: [[5]
 [7]
 [9]]
Multiplicación de un vector por un escalar: [[2]
 [4]
 [6]]
Producto punto de dos vectores: [[32]]

Propiedades del producto punto

  1. El producto punto es conmutativo: \[ v_1 \cdot v_2 = v_2 \cdot v_1 \]
  2. El producto punto es distributivo: \[ v_1 \cdot (v_2 + v_3) = v_1 \cdot v_2 + v_1 \cdot v_3 \] ## Definición

Dos vectores \(v_1\) y \(v_2\) son ortogonales si su producto punto es cero:

\[ v_1 \cdot v_2 = 0 \]

Normas de vectores

La norma de un vector \(v\) se define como la longitud del vector. La norma de un vector se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:

\[ ||v|| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \ldots + v_n^2} \]

La norma de un vector se puede calcular en python utilizando la función numpy.linalg.norm(). Por ejemplo, la norma del vector \(v = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\) se puede calcular de la siguiente manera:

import numpy as np
v = np.array([[1], [2], [3]])
norma = np.linalg.norm(v)
print("Norma del vector:", norma)
Norma del vector: 3.7416573867739413

Propiedades de la norma

  1. La norma de un vector es siempre no negativa: \[ ||v|| \geq 0 \]
  2. La norma de un vector es cero si y solo si el vector es el vector cero: \[ ||v|| = 0 \Leftrightarrow v = 0 \]
  3. La norma de un vector es homogénea: \[ ||kv|| = |k| ||v|| \] 4.Desigualdad triangular: \[ ||v_1 + v_2|| \leq ||v_1|| + ||v_2|| \]

Como podemos interpretar la norma de un vector en \(R^N\)?

La norma de un vector en \(R^N\) se puede interpretar como la distancia entre el origen y el punto representado por el vector en el espacio euclidiano. Por ejemplo en \(R^3\) la norma de un vector \(v = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\) se puede interpretar como la distancia entre el origen \((0,0,0)\) y el punto \((1,2,3)\) en el espacio tridimensional. Esta distancia se puede calcular utilizando la fórmula de la distancia euclidiana:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]

Veamos la siguiente animación en python:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# Create the figure and 3D axis
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

# Initial vector
v = np.array([1, 2, 3])

# Plot the origin
ax.scatter(0, 0, 0, color='black', label='Origen')

# Plot the initial vector
ax.plot([0, v[0]], [0, v[1]], [0, v[2]], label='Vector', color='black')

# Plot projections on each axis
ax.plot([0, v[0]], [0, 0], [0, 0], label='Distancia en X', color='red', linestyle='dotted')
ax.plot([0, 0], [0, v[1]], [0, 0], label='Distancia en Y', color='blue', linestyle='dotted')
ax.plot([0, 0], [0, 0], [0, v[2]], label='Distancia en Z', color='green', linestyle='dotted')


# Set axis limits
ax.set_xlim([-5, 5])
ax.set_ylim([-5, 5])
ax.set_zlim([-5, 5])

# Add labels
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Z')

# Show the plot
plt.legend()
plt.show()

Relación entre la norma y el producto punto

La norma de un vector se puede calcular utilizando el producto punto de la siguiente manera: \[ ||v|| = \sqrt{v \cdot v}=\sum_{i=1}^{n} v_i^2 \]

Ejercicio

Encuentra la norma del vector \(v = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\) utilizando la definición de norma y el producto punto.

Desigualdad de Cauchy-Schwarz

La desigualdad de Cauchy-Schwarz establece que para cualquier par de vectores \(u\) y \(v\) en un espacio euclidiano, se cumple la siguiente desigualdad:

\[ |u \cdot v| \leq ||u|| \cdot ||v|| \]

Ejercicio

Compruebe la desigualdad de Cauchy-Schwarz para los vectores \(para los vecores en\)R^4$ \(u = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}\) y \(v = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \\ 7 \\ 8 \end{bmatrix}\).

Producto Cruz

El producto cruz de dos vectores \(u\) y \(v\) en \(R^3\) se define como un nuevo vector que es ortogonal a ambos vectores. El producto cruz se denota como \(u \times v\) y se calcula utilizando la siguiente fórmula: \[ u \times v = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \begin{bmatrix} u_2v_3 - u_3v_2 \\ u_3v_1 - u_1v_3 \\ u_1v_2 - u_2v_1 \end{bmatrix} \] donde \(\hat{i}\), \(\hat{j}\) y \(\hat{k}\) son los vectores unitarios en las direcciones \(x\), \(y\) y \(z\) respectivamente.

Propiedades del producto cruz

  1. El producto cruz es anticomutativo: \[ u \times v = - (v \times u) \]
  2. El producto cruz es distributivo: \[ u \times (v + w) = u \times v + u \times w \]
  3. El producto cruz es bilineal: \[ k(u \times v) = (ku) \times v = u \times (kv) \]
  4. La magnitud del producto cruz es igual al área del paralelogramo formado por los vectores \(u\) y \(v\): \[ ||u \times v|| = ||u|| \cdot ||v|| \cdot \sin(\theta) \] donde \(\theta\) es el ángulo entre los vectores \(u\) y \(v\).
  5. El producto cruz de dos vectores paralelos es cero: \[ u \times v = 0 \]

Rectas de planos en \(R^3\)

Una recta en \(R^3\) se puede definir como el conjunto de puntos que satisfacen la ecuación paramétrica:

\(L(t)=v+tu\)

Ejemplo el calculo de que pasa por el punto \[v=(1,2,3)\] y tiene como vector directriz \[v=[1,2,0]\] es

\[L(t)=(1+t,2+t,3)\]

Ademas podemos calcular la ecaución simetricas para esto igualamos cada elemento

\[1+t=x\] \[2+t=y\] \[3=z\]

ahora

\[x-1=y-2,\ z=3\]