Taller de Álgebra Lineal: Subespacios, Combinaciones Lineales, Independencia y Bases

Ejercicios de Producto Cruz, Planos y Rectas

A continuación, se presentan 15 ejercicios repartidos en tres secciones: Producto Cruz, Planos y Rectas.

Calcular el producto cruz de los vectores:
\[ \mathbf{u} = (1, 2, 3) \quad \text{y} \quad \mathbf{v} = (4, 5, 6). \]
Determinar el producto cruz de los vectores:
\[ \mathbf{u} = (2, -3, 1) \quad \text{y} \quad \mathbf{v} = (0, 4, -5). \]
Encuentra el vector resultante del producto cruz de:
\[ \mathbf{u} = (-1, 2, 0) \quad \text{y} \quad \mathbf{v} = (3, -1, 4). \]
Calcular el producto cruz de:
\[ \mathbf{u} = (0, 3, -2) \quad \text{y} \quad \mathbf{v} = (5, 1, 0). \]
Verifica que el vector resultante sea perpendicular a ambos vectores dados.
Sean los vectores $ = (a_1, a_2, a_3)$ y $ = (b_1, b_2, b_3)$. Expresa el vector $ $ en forma de determinante y aplica este método para calcular el producto cruz de:
\[ \mathbf{a} = (3, 0, -1) \quad \text{y} \quad \mathbf{b} = (1, 4, 2). \]

Determinar la ecuación del plano que pasa por los puntos:
\[ A(1, 0, 2),\quad B(2, -1, 3) \quad \text{y} \quad C(0, 2, 1). \]
Utiliza el producto cruz para encontrar el vector normal.
Encuentra la ecuación del plano dado su vector normal $ = (2, -1, 3)$ y que pasa por el punto $P(1, 4, -2)$.
Hallar la ecuación general del plano que es paralelo al plano
\[ 2x - y + z = 5 \]
y pasa por el punto $P(3, 0, 1)$.
Determinar la ecuación paramétrica de un plano que contenga la recta:
\[ \begin{cases} x = 1 + t, \\ y = 2 - t, \\ z = 3 + 2t, \end{cases} \]
y sea perpendicular al vector $ = (0, 1, -1)$.
Dados los puntos:
\[ P(0,0,0), \quad Q(1,2,3) \quad \text{y} \quad R(4,0,1), \]
encuentra la ecuación del plano que pasa por ellos y discute la orientación del mismo.

Determinar la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto $P(2, -1, 3)$ con dirección $ = (1, 4, -2)$.
Encontrar la forma simétrica de la recta que tiene como ecuación paramétrica:
\[ \begin{cases} x = -1 + 3t, \\ y = 2 - t, \\ z = 4 + 2t. \end{cases} \]
Dadas las rectas:
\[ r_1: \begin{cases} x = 1 + t, \\ y = -2 + 2t, \\ z = 3 - t, \end{cases} \quad r_2: \begin{cases} x = 2 - s, \\ y = 0 + s, \\ z = 1 + 3s, \end{cases} \]
determinar si son coplanares y, en caso afirmativo, encontrar su punto de intersección (si existe).
Hallar la distancia entre el punto $P(1,2,3)$ y la recta de ecuación:
\[ \mathbf{r}(t) = (0, 1, -1) + t(2, 0, 4). \]
Encuentra la intersección (si existe) entre la recta:
\[ \mathbf{r}_1(t) = (1, 0, 2) + t(3, -1, 1) \]
y el plano definido por la ecuación:
\[ 4x - 2y + z = 7. \]

A continuación se presentan 5 enunciados. Indica si cada afirmación es verdadera o falsa y justifica la respuesta.

El producto cruz de dos vectores paralelos es un vector nulo.
La ecuación general de un plano siempre puede escribirse en la forma $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ es un vector normal al plano.
Dos rectas en el espacio siempre se cortan, ya que existen en tres dimensiones.
El producto cruz es conmutativo, es decir, $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{v} \times \mathbf{u}$.
Si una recta es paralela a un plano, entonces la dirección de la recta es ortogonal al vector normal del plano.