Ejercicio computacional valores y vectores propios (Matrices 2x2)

Para realizar este ejercicio usted puede usar Colab, ya que necesitará realizar muchas operaciones matriciales, como suma de matrices y multiplicación. El resto de la operaciones las puede realizar en papel.

Introducción al Código de Codificación

Para codificar un mensaje, utilizaremos una correspondencia entre letras y números basada en el alfabeto:

Letra Código
A 1
B 2
C 3
… …
Z 26
Espacio 0

Ejemplo:
La palabra "VIDA" se convierte en:

\[ V = 22, \quad I = 9, \quad D = 4, \quad A = 1, \]

y se agrupa en vectores de dos en dos:

\[ \begin{bmatrix} 22 \\ 9 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix}. \]

Ejercicio 1: Codificación de La vida es bella

Vamos a codificar la frase "LA VIDA ES BELLA" con la siguiente matriz:

\[ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}. \]

Pasos a seguir

  1. Convierte las letras a valores numéricos siguiendo la tabla anterior.

  2. Agrupa los valores en vectores columna de \(2 \times 1\).

  3. Multiplica cada vector por la matriz \(A\) para obtener el mensaje cifrado.

Ejercicio 2: Descifrado de un Mensaje con la Matriz Inversa

Un mensaje secreto fue cifrado con la misma matriz \(A\), y se obtuvo: \[ \begin{bmatrix} 0 & 8 & 18 & 0 & 21 & 5 & 0 & 15 & 18 & 0 & 25 & 4 & 18 & 15 & 0 \\ 25 & 1 & 15 & 1 & 17 & 9 & 14 & 16 & 4 & 1 & 1 & 21 & 1 & 14 & 19 \end{bmatrix}. \]

Pasos a seguir

  1. Encuentra la matriz inversa de \(A\):
    \[ A^{-1} = ? \]

  2. Multiplica cada vector cifrado por \(A^{-1}\) para recuperar el mensaje original.

  3. Convierte los números obtenidos en letras usando la misma codificación del Ejercicio 1.

Los valores propios de la matriz \(A\) son \(\lambda_1 = 1\) y \(\lambda_2 = 1\). Los vectores propios de la matriz \(A\) son las columnas de la matriz \(P\) tal que \(A = P \Lambda P^{-1}\), donde \(\Lambda\) es la matriz diagonal de los valores propios. Para la matriz \(A\), los vectores propios son:

\[ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \quad \text{y} \quad \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}. \]

Observaciones

Note que una matriz cuadrada \(A\) de \(2 \times 2\) tiene dos valores propios \(\lambda_1\) y \(\lambda_2\), y dos vectores propios \(v_1\) y \(v_2\). La matriz \(A\) se puede descomponer como:

\[ A = P \Lambda P^{-1}, \]

donde \(P=[v_1|v_2]\) es la matriz cuyas columnas son los vectores propios de \(A\), y

\[\Lambda=\begin{bmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{bmatrix},\]

es la matriz diagonal de los valores propios de \(A\).

Por ejemplo, si \(A\) es:

\[ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}, \] entonces los valores propios de \(A\) son

\(\lambda_1 = 1\) asociado al vector propio \(v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1\end{bmatrix}\) y \(\lambda_2 = -1\) asociado al vector propio \(v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1\end{bmatrix}\).

De esta forma, tenemos que la matriz

\[ P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1\end{bmatrix}, \ \ \Lambda = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix} \ \ \text{y} \ \ P^{-1} = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2\end{bmatrix}, \]

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2\end{bmatrix}. \]

Ejercicio 3: Encuentre el mensaje encriptado

Un experto en matemáticas observo el siguiente vector el cual tiene un mensaje encriptado, el cual se sabe que fue encriptado con la técnica anterior.

el encontró que la matriz llave tiene dos valores propios \[\lambda_1 = 1 \quad \text{y} \quad \lambda_2 = 2,\]

y el valor propio asociado a \(\lambda_2\) es

\[ v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0\end{bmatrix} \]

Ademas noto que cuando tenia la la combinación espacio de letras “BA” al convertirlo a vectores y multiplicarlo por la matriz llave, obtenía el mismo vector, es decir tenia la misma combinación de letras.

Note que si el mensaje encriptado era

\[ \begin{bmatrix} -14&12&-6&3&14&1&-10&21&6&9&28&0&-24&15&-6&15&34&1&-22&15 \end{bmatrix} \]

escribiéndolo en forma de matriz, tenemos \[ \begin{bmatrix} -14 & -6 & 14 & -10 & 6 & 28 & -24 & -6 & 34 & -22 \\ 12 & 3 & 1 & 21 & 9 & 0 & 15 & 15 & 1 & 15 \end{bmatrix} \]

  1. Escribe un plan para encontrar el mensaje encriptado.

  2. Encuentra el mensaje encriptado.