Ejercicios \(\mathbb{R}^2\)

Taller de Vectores en \(\mathbb{R}^2\) y Matrices \(2 \times 2\)

Ejercicio 1

Sean los vectores \(\mathbf{u} = (3, -1)\) y \(\mathbf{v} = (2, 4)\).
1. Calcula \(\mathbf{u} + \mathbf{v}\).
2. Calcula \(2\mathbf{u} - 3\mathbf{v}\).

  1. Verifica la propiedad distributiva:

    \[\alpha(\mathbf{u} + \mathbf{v}) \stackrel{?}{=} \alpha\mathbf{u} + \alpha\mathbf{v}\]

    tomando \(\alpha = -1\).

Pista: Solo necesitas comparar ambos lados de la igualdad para concluir.

Ejercicio 2

Con los mismos vectores \(\mathbf{u} = (3, -1)\) y \(\mathbf{v} = (2, 4)\):
1. Halla \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}\).
2. Verifica la propiedad de conmutatividad \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{u}\).
3. Encuentra el vector \(\mathbf{v}\) y comprueba que \[\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}=||\mathbf{v}||^2.\] 4. Calcula el vector proyección de \(\mathbf{u}\) sobre \(\mathbf{v}\), es decir, \(\text{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u}\).

Pista: Usa la fórmula:

\[\text{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u} = \left(\frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|^2}\right)\mathbf{v}.\]

  1. Interpreta geometricamente que significa la proyección de un vector sobre otro.

  1. Describa si la siguiente afirmaciones son es verdaderas o falsas:

    Si \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0\), entonces \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\) son ortogonales.

    \[\Big|\Big|\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{||v||^2}\mathbf{v}\Big|\Big| = \frac{|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|}{||\mathbf{v}||}\]

  2. Use el procedimiento anterior para calcular el ángulo entre los vectores \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\).

  1. Calcula el ángulo \(\theta\) entre \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\) usando la fórmula:

    \[\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\cos(\theta).\]

Ejercicio 3

Dada la recta que pasa por el punto \(\mathbf{P} = (1, -2)\) y que tiene como dirección el vector \(\mathbf{P} = (2, 3)\):

  1. Escribe su ecuación paramétrica en \(\mathbb{R}^2\).

    Recuerda que la forma paramétrica se describe como:

    \[\mathbf{r}(t) = \mathbf{P} + t\,\mathbf{v}, \quad t \in \mathbb{R}.\]

  2. Verifica que el punto \(\mathbf{Q} = (3,1)\) no pertenece a dicha recta (sustituyendo en la forma paramétrica y comprobando si existe un valor de \(t\) que lo satisfaga).

  3. Escribe la ecuación de forma cartesiana, es decir de la forma \(y =ax+b\).

Ejercicio 4

Considera la recta \(r_1\) en forma paramétrica:

\[r_1: \quad \mathbf{r}(t) = (2, 1) + t \, (3, -1).\]

  1. Encuentra la ecuación paramétrica de la recta \(r_2\) paralela a \(r_1\) y que pase por el punto \((4,2)\).

    Dos rectas son paralelas si sus vectores direccionales son múltiplos.

  2. Encuentra la ecuación paramétrica de la recta \(r_3\) perpendicular a \(r_1\) que pase por \((4,2)\).

    Dos rectas en \(\mathbb{R}^2\) son perpendiculares si sus vectores direccionales \(\mathbf{d_1}\) y \(\mathbf{d_2}\) cumplen \(\mathbf{d_1}\cdot \mathbf{d_2} = 0\).

  3. Determina el punto de intersección entre \(r_3\) y la recta \(r_1\).

Ejercicio 5

Sea \(\{\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2\}\) con \(\mathbf{w}_1 = (1, 3)\) y \(\mathbf{w}_2 = (2, 6)\).

  1. Determina si \(\mathbf{w}_1\) y \(\mathbf{w}_2\) son linealmente dependientes o independientes. Explica tu proceso.
  2. Si son dependientes, describe la relación de dependencia. Si son independientes, justifica por qué.

Ejercicio 6

  1. Explica en tus propias palabras qué significa que un conjunto de vectores sea base de \(\mathbb{R}^2\).
  2. Dados los vectores \(\mathbf{a} = (1, 2)\) y \(\mathbf{b} = (2, 1)\), ¿son una base de \(\mathbb{R}^2\)?
    • Justifica tu respuesta usando independencia lineal

Ejercicio 7

  1. ¿Por qué \(\{(0,0)\}\) (el conjunto que solo contiene al vector cero) es un subespacio de \(\mathbb{R}^2\)?
  2. Si \(S\) es el conjunto de todos los vectores \((x, y)\) tales que \(x + y = 0\), demuestra que \(S\) es un subespacio de \(\mathbb{R}^2\).
  3. Determina una base para el subespacio \(S\).