Operaciones con matrices

1. Sean las matraces

\[A=\begin{bmatrix} 1 & 2 &2\\ 0&3 & 4\\ 0&3 & -1 \end{bmatrix}, \quad B=\begin{bmatrix} -1 & 0&-2 \\ 0 & -1&1\\ 1 & -1&1 \\ 2 & 1&1\end{bmatrix}\]

Calcule

1. \(3A\)

2. \(B*A\)

3. Calcule la inversa de \(A\) si es posible

4. Encuentre la matriz escalonada de \(A\) y \(B\)

2. Responda las siguientes preguntas

1. ¿Por que se dice que encontrar la inversa de una matriz de tamaño \(n\times n\) es equivalente a resolver \(n\) sistemas de ecuaciones lineales?

2. ¿Que significa que una matriz sea singular?

3. Si un matriz es invertible entonces ¿\(A^T\) es invertible?

3. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales

1. \(\begin{cases*} 3x + 2y +3z = 1 \\ 2x + 3y + 3z = 2 \\ 3x + 3y + 4z = 3 \end{cases*}\)

2. \(\begin{cases*} 2x + 3y + 4z = 1 \\ 3x + 4y + 5z = 2 \\ 4x + 5y + 6z = 3 \end{cases*}\)

4. Un grupo de agricultores gestiona un sistema de riego compuesto por 10 parcelas consecutivas que reciben agua de un canal principal. El flujo de agua en cada parcela depende del agua que recibe de la parcela anterior y de la que cede a la siguiente, además de un aporte externo que varía en cada una.

La cantidad de agua \(x_i\) distribuida a cada parcela \(i\) (con \(i = 1, 2, ..., 10\)) se modela mediante un sistema de ecuaciones tridiagonales, considerando que:

• Cada parcela recibe agua de la anterior en una proporción \(a_i\).
  
• Cada parcela cede una parte \(c_i\) del agua que recibe a la siguiente.
  
• Se añade un flujo externo \(b_i\) que varía para cada parcela.
  
• Se debe garantizar un equilibrio hídrico en cada parcela para maximizar la eficiencia del riego. es decir $\(a_i​x_{i−1}​+b_i​x_i​+c_i​x_{i+1}​=d_i\) Para este ejemplo particular se tomo el sistema de ecuaciones es el siguiente:

\[ \begin{aligned} 4 x_1 + x_2 &= 10, \\ x_1 + 4 x_2 + x_3 &= 10, \\ x_2 + 4 x_3 + x_4 &= 10, \\ x_3 + 4 x_4 + x_5 &= 10, \\ x_4 + 4 x_5 + x_6 &= 10, \\ x_5 + 4 x_6 + x_7 &= 10, \\ x_6 + 4 x_7 + x_8 &= 10, \\ x_7 + 4 x_8 + x_9 &= 10, \\ x_8 + 4 x_9 + x_{10} &= 10, \\ x_9 + 4 x_{10} &= 10. \end{aligned} \]

El objetivo es determinar la cantidad óptima de agua \(x_i\) que debe asignarse a cada parcela para asegurar un riego eficiente en todo el sistema.

1. Escriba el sistema de ecuaciones lineales en forma matricial \(Ax = d\).

2. El sistema tiene una solución única, ¿por qué?

5. Usando Colab y Python, resuelva el sistema de ecuaciones lineales del punto anterior y determine la cantidad óptima de agua que debe asignarse a cada parcela para asegurar un riego eficiente en todo el sistema.

6. Sean las matrices

\[A=\begin{bmatrix} 1 & 2 &2\\ 0&3 & 4\\ 0&3 & -1 \end{bmatrix}, \quad B=\begin{bmatrix} -1 & 0&-2 \\ 0 & -1&1\\ 1 & -1&1 \\ 2 & 1&1\end{bmatrix}\] y \(C=\begin{bmatrix} 1 & 2 &2\\ 0&3 & 4\\ 0&3 & -1 \end{bmatrix}\)

Calcule usando Colab y Python

1. \(3AC\)

2. \(BAC\)

3. Calcule la inversa de \(A\) y \(C\) si es posible