Operaciones con matrices

1. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la regla de Cramer \[ \begin{aligned} 2x_1 + 3x_2 - x_3 &= 10 \\ -x_1 + + 2x_3 - 3x_4 &= 5 \\ - 2x_2 + x_3 &= 7 \\ 4x_1 + x_2 - 5x_4 &= 12 \end{aligned} \]

2. Resuelva el sistema anterior usando eliminación gaussiana

3. Encuentre la matriz escalonada de la matriz

\[ \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 & -3 \\ 0 & -2 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & 0 & -5 \end{bmatrix} \]

4. Encuentre la matriz inversa

\[ \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 & -3 \\ 0 & -2 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & 0 & -5 \end{bmatrix} \]

5. Encuentre el valor de \(a\) para que la matriz tenga inversa

\[ \begin{bmatrix} a^2 & &03 \\ 5 & a & 2 \\ 3 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

6. Decida si la afirmación es verdadera o falsa y justifique su respuesta

• \(det(AA^T)=det(A)^2\)

• \(det(-A)=-det(A)\)

• Si \(A^T=A^{-1}\), entonces \(det(A)=1\)

• Si \(B=PAP^{-1}\), entonces \(det(B)=det(A)\)

• \(det(A+B)=det(A)+det(B)\)

7. Sea lso vectores \[ \vec{v}=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix},\ \ \vec{u}=\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} \]

Calcule

1. \(\vec{v}+\vec{u}\)

2. \(\vec{v}-\vec{u}\)

3. \(2\vec{v}\)

4. \(\vec{v}^T\vec{u}\)

5. \(\vec{v}^T\vec{u}^T\)

8. Que valor de \(a\), para que los vectores sean ortogonales

\[ \vec{v}=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ a \end{bmatrix},\ \ \vec{u}=\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix} \]

9. Encuentre

\[ \vec{v}=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix},\ \ \vec{u}=\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} \]

1. \(\vec{v}\times\vec{u}\)

2. \(\vec{u}\times\vec{v}\)

3. Represente este producto en un \(R^3\)

10. LAs siguientes son verdaderas

• \(||\vec{u}+\vec{v}||^2=||\vec{u}||^2+||\vec{v}||^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}\)

• \(|\vec{a}+\vec{b}|=||\vec{a}||+||\vec{b}||\)

• Si \(x,y\in R^n\), entonces \(||x\cdot y||^2=xy^T\)

• Si \(\vec{u}=c\vec{v}\) entonces \(\vec{u}\times\vec{v}=0\)